RELACIONES SIMETRICA

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con el primero. Es decir, \forall x,y\in A,\ xRy \Rightarrow yRx En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetría. La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R). Cuando una relación es lo opuesto a una simétrica, es decir, cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no está relacionado con el primero, entonces decimos que es asimétrica, lo que denotamos formalmente por: \forall x,y\in A,\ xRy \Rightarrow \neg (yRx) En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de asimetría.

RELACION REFLEXIVA

Relación de equivalencia Artículo principal: Relación de equivalencia. Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:4 Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria es relación de equivalencia, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R 2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica si un elemento a esta relacionado con otro b, entonces el b también esta relacionado con el a. \forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \longrightarrow \quad (b,a) \in R 3.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c. \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases de equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto A, entre ellos son disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A, veamos un ejemplo. En Aritmética modular se define la operación modulo como el resto de la división, así: 5 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 2 = 1 6 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 0 7 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 1 el resto de dividir 5 entre 2 es 1 el resto de dividir 6 entre 3 es 0 el resto de dividir 7 entre 3 es 1 se dice que dos números son congruentes modulo n, si al dividir cada uno de esos números por n dan el mismo resto: 8 \equiv 17 \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} 3) el 8 y el 17 son congruentes modulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2. La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una Relación de equivalencia, dado que es reflexiva: \forall a \in \N : \; a \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n) es simétrica: \forall a, b \in \N : \; a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n) \longrightarrow \quad b \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n) y es transitiva \forall a, b, c \in \N : \; \Big ( a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n) \quad \land \quad b \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n) \Big ) \longrightarrow \longrightarrow \quad a \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n) Conjunto parcialmente ordenado Artículo principal: Conjunto parcialmente ordenado. Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica: Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria define un conjunto parcialmente ordenado, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R 2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c. \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R 3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales. \forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a = b Tomando un conjunto A, formado, por ejemplo, por los elementos: A = \{ a, b, c \} \; Definimos el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A: P (A) = \Big\{ \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c \} \Big\} A cada uno de estos subconjuntos los llamamos: A_1 = \{ \} \; A_2 = \{a\} \; A_3 = \{b\} \; A_4 = \{c\} \; A_5 = \{a, b\} \; A_6 = \{a, c\} \; A_7 = \{b, c\} \; A_8 = \{a, b, c\} \; Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el primero es Subconjunto del segundo: R = \Big\{ (A_i , A_j )\in \; P (A) : \quad A_i \subset A_j \Big\} La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmente ordenado, al ser reflexiva: \forall A_i \in P (A) : \; A_i \subset A_i Transitiva: \forall A_i, A_j, A_k \in P (A) : \; \Big ( A_i \subset A_j \quad \land \quad A_j \subset A_k \Big ) \longrightarrow \quad A_i \subset A_k Antisimetrica: \forall A_i, A_j \in P (A) : \; \Big ( A_i \subset A_j \quad \land \quad A_j \subset A_i \Big ) \longrightarrow \quad A_i = A_j Por lo que el conjunto de las partes de A, respecto a la relación binaria pertenencia es un conjunto parcialmente ordenado. Esta relación no es total dado que: \neg\forall (A_i, A_j) \in P (A) : \; A_i \subset A_j \quad \lor \quad A_j \subset A_i Que se denominan no comparables, los pares de conjuntos no comparables son: OrdenParcial.svg \Big( \{a\}, \{b\} \Big) \notin R ,\quad \{a\} \not\subset \{b\} \Big( \{a\}, \{c\} \Big) \notin R ,\quad \{a\} \not\subset \{c\} \Big( \{b\}, \{c\} \Big) \notin R ,\quad \{b\} \not\subset \{c\} \Big( \{a\}, \{b, c\} \Big) \notin R ,\quad \{a\} \not\subset \{b, c\} \Big( \{b\}, \{a, c\} \Big) \notin R ,\quad \{b\} \not\subset \{a, c\} \Big( \{c\}, \{a, b\} \Big) \notin R ,\quad \{c\} \not\subset \{a, b\} \Big( \{a, b\}, \{a, c\} \Big) \notin R ,\quad \{a, b\} \not\subset \{a, c\} \Big( \{a, b\}, \{b, c\} \Big) \notin R ,\quad \{a, b\} \not\subset \{b, c\} \Big( \{a, c\}, \{b, c\} \Big) \notin R ,\quad \{a, c\} \not\subset \{b, c\} A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las flechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial. Orden total Artículo principal: Orden total. Un conjunto A se dice que esta totalmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva, antisimétrica y total: Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria define un orden total, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R 2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c. \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R 3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales. \forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a = b 4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó bien b esta relacionado con a. \forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \lor \quad (b,a) \in R Si tomamos el conjunto de los números enteros Z, por ejemplo, respecto a la relación binaria entre sus elementos menor o igual, podemos ver que es reflexiva: \forall a \in \Z : \; a \le a es transitiva: \forall a, b, c \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le c \Big ) \longrightarrow \quad a \le c es antisimetrica: \forall a,b \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le a \Big ) \longrightarrow \quad a = b y es total: \forall a, b \in \Z : \; a \le b \quad \lor \quad b \le a Conjunto bien ordenado Artículo principal: Conjunto bien ordenado. Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, se dice que es un conjunto bien ordenado si cumple: Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria define un conjunto bien ordenado, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R 2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c. \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R 3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales. \forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a = b 4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó bien b esta relacionado con a. \forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \lor \quad (b,a) \in R 5.- Relación bien fundada: dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si pata todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B, distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R. \forall B \subset A \; , \quad \exists m \in B \; : \quad \forall b \in B \; \land \; b \ne m \; : \quad (b,m) \notin R

relacion reflecciva

Relación reflexiva La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales. Las relaciones reflexivas son las definidas así: Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad, así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo número natural es igual a sí mismo. RelaRef 01.svg Dado un conjunto A, formado por los siguientes elementos: A = \{ a, b, c, d \} \; Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así: \R = \Big \{ (a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (d,b), (d,d) \Big \} Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la relación: (a,a) \in \R \quad (b,b) \in \R \quad (c,c) \in \R \quad (d,d) \in \R Luego la relación R es reflexiva. RelaRef 11.svg La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas. En el eje horizontal (ordenadas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y en el eje vertical(abscisas) el conjunto final, de abajo a arriba, si un determinado par pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se deja en blando, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria. RelaRef 21.svg En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas, la relación es reflexiva Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que: Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R. En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo. Relación no reflexiva RelaRef 00.svg Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo. Puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no, la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva. Ver diagrama: \mbox{Relaciones homogéneas} \begin{cases} { \color{Blue}\mbox{reflexivas}} \\ \mbox{no reflexivas} \begin{cases} { \color{Red}\mbox{irreflexivas}}\\ { \color{Green}\mbox{no reflexivas y no irreflexivas}} \end{cases}\\ \end{cases} Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas. Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria es relación irreflexiva, si cumple: 1.- Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si todo elemento a de A no esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \notin R También podemos decir que una relación es irreflexiva si: \nexists a \in A \, : \quad (a,a) \in R Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a esta relacionado consigo mismo. RelaRef 05.svg Dado el conjunto: A = \{ a, b, c, d \} \, y la relación entre los elementos de este conjunto: \R = \Big \{ (a,b), (b,c), (d,b) \Big \} Podemos ver que: (a,a) \notin \R \quad (b,b) \notin \R \quad (c,c) \notin \R \quad (d,d) \notin \R Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R, luego esta relación en irreflexiva. RelaRef 25.svg La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación. La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una relación es reflexiva, tenemos que: \forall a \in A : \; (a,a) \in R y si es irreflexiva, se cumple: \forall a \in A : \; (a,a) \notin R Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultáneamente: Una relación binaria es no reflexiva si: \exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R Y una relación es no irreflexiva cuando: \exist a \in A \, : \quad (a,a) \in R Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no reflexiva y no irreflexiva: \begin{cases} \exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R \\ \exist b \in A \, : \quad (b,b) \in R \end{cases} veamos un ejemplo, dado el conjunto: A = \{ a, b, c, d \} \, RelaRef 03.svg En la que se ha definido la relación binaria: \R = \Big \{ (a,a), (a,b), (b,c), (c,c), (d,b) \Big \} Podemos ver que: (a,a) \in \R \quad (c,c) \in \R Y también que: (b,b) \notin \R \quad (d,d) \notin \R Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva. RelaRef 23.svg Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma relación. En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones: Relaciones reflexivas Relaciones irreflexivas Relaciones no reflexivas y no irreflexivas. Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente. Relación de dependencia Artículo principal: Relación de dependencia. Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica: Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria es relación de dependencia, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva, si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R 2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica, si un elemento a esta relacionado con otro b, entonces el b también esta relacionado con el a. \forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \longrightarrow \quad (b,a) \in R Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la distancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia: \forall a, b \in \N : \; D= | a-b| y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo un valor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es: (a, b) \in R : \; (a, b) \in \N^2 \quad \land \quad |a-b| \le D es una relación de dependencia, dado que es reflexiva: \forall a \in \N : \; |a-a| \le D es simétrica: \forall a, b \in \N : \; |a-b| \le D \quad \longrightarrow \quad |b-a| \le D relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que: \forall a, b, c \in \N : \; \Big ( |a-b| \le D \quad \land \quad |b-c| \le D \Big ) \quad \nrightarrow \quad |a-c| \le D que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, no implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación de dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si denota una dependencia entre ellos. Conjunto preordenado Artículo principal: Conjunto preordenado. Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva: Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria define un conjunto preordenado, si cumple: 1.- Relación binaria reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R 2.- Relación binaria transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c. \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R

RELACIONES BINARIA HOMOGENEA

Relación binaria homogénea Como ya se definió antes, una relación binaria homogénea es la que se da entre los elementos de un único conjunto, llamando A al conjunto, tendríamos: R (a,b): \; (a,b)\in A^2 Si la Relación binaria es entre los elementos de un único conjunto, dado que los distintos tipos de relación que se pueden determinar entre sus elementos tomados de dos en dos, determina la estructura del conjunto, lo veremos con un ejemplo: Relación binaria 11.svg Dado el conjunto A: A = \{a, b, c, d \} \, y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver que solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto, en este caso representado por las flechas. R \subset A^2 En este caso podemos decir, como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A. a \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} c \quad c \mathcal{R} d d \mathcal{R} d \quad d \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} a o como conjunto de pares ordenados: R = \{ (a,b),(b,c),(c,d),(d,d),(d,b),(b,a) \} \, Relación binaria 12.svg También podemos representar una relación binaria homogénea como una correspondencia de A sobre A: R: A \rightarrow A Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, nos permite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinando una operación o función de cálculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con el a. En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos de correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneas Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano: Dado el producto A \times A de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de A \times A que contiene todos los pares de elementos relacionados. d (a, d) (b, d) (c, d) (d, d) c (a, c) (b, c) (c, c) (d, c) b (a, b) (b, b) (c, b) (d, b) a (a, a) (b, a) (c, a) (d, a) A×A a b c d Si el producto A \times A es: A \times A = \{ \, (a,a), \, (a,b), \, (a,c), \, (a,d), (b,a), \, (b,b), \, (b,c), \, (b,d), (c,a), \, (c,b), \, (c,c), \, (c,d), (d,a), \, (d,b), \, (d,c), \, (d,d) \} \, el conjunto R de la relación binaria se representa: R = \{ ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \, Nótese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final. Propiedades de las relaciones binarias homogénea Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas: Propiedad reflexiva Artículo principal: Relación reflexiva. Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento esta relacionado consigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva. \forall a \in A : \; (a,a) \in R Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R. Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva: \nexists a \in A : \; (a,a) \notin R No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales. Propiedad irreflexiva Artículo principal: Relación irreflexiva. Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo: \forall a \in A : \; (a,a) \notin R Que también puede expresarse \nexists a \in A : \; (a,a) \in R No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R. Propiedad simétrica Artículo principal: Relación simétrica. Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación: \forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \longrightarrow \quad (b,a) \in R Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relación: \nexists a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \notin R No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R. Propiedad antisimétrica Artículo principal: Relación antisimétrica. Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b: \forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad a = b Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado con b y b este relacionado con a \nexists a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \quad \land \quad a \ne b Propiedad transitiva Artículo principal: Relación transitiva. Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a esta relacionado con c: \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad (a,c) \in R Propiedad total Artículo principal: Relación total. Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó b esta relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo: \forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \lor \quad (b,a) \in R Relación bien fundada Artículo principal: Relación bien fundada. Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si para todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B, y b distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R. \forall B \subset A \; , \quad \exists m \in B \; : \quad \forall b \in B \; \land \; b \ne m \; : \quad (b,m) \notin R Esto es para todo subconjunto B de A, existe un m en B, que es el elemento mínimo de ese subconjunto.

RELACIONES HOMOGENEA

Relación homogénea Una relación binaria entre dos conjuntos se llama homogénea si estos dos conjuntos son iguales: R (a,b): \; (a,b)\in A \times B \quad \land \quad A = B Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar: R (a,b): \; (a,b)\in A \times A O bien: R (a,b): \; (a,b)\in A^2

CLASSIFICACION DE LAS RELACIONES

Clasificación Acerca de esta imagen La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos. En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas, en las primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo que en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.

producto cartesiano

Producto cartesiano Artículo principal: Producto cartesiano. \begin{array}{|r|ccc|} \hline 5 & (1,5) & (4,5) & (6,5) \\ 3 & (1,3) & (4,3) & (6,3) \\ 2 & (1,2) & (4,2) & (6,2) \\ \hline A \times B & 1 & 4 & 6 \\ \hline \end{array} Definimos los conjuntos: A = \{1, 4, 6 \} \, B = \{2, 3, 5 \} \, Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical. La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente: A \times B = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (4,2), (4,3), (4,5), (6,2), (6,3), (6,5) \} \, Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano Visto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relación binaria, por ejemplo: mayor que, que se puede expresar: R = \{(a,b) : \quad a \in A \quad \land \quad b \in B\ \quad \land \quad a > b \} que por extensión resulta: R = \{ (4,2), (4,3), (6,2), (6,3), (6,5) \} \, Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos.2 R \subset A \times B