relacion reflecciva

Relación reflexiva La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales. Las relaciones reflexivas son las definidas así: Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad, así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo número natural es igual a sí mismo. RelaRef 01.svg Dado un conjunto A, formado por los siguientes elementos: A = \{ a, b, c, d \} \; Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así: \R = \Big \{ (a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (d,b), (d,d) \Big \} Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la relación: (a,a) \in \R \quad (b,b) \in \R \quad (c,c) \in \R \quad (d,d) \in \R Luego la relación R es reflexiva. RelaRef 11.svg La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas. En el eje horizontal (ordenadas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y en el eje vertical(abscisas) el conjunto final, de abajo a arriba, si un determinado par pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se deja en blando, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria. RelaRef 21.svg En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas, la relación es reflexiva Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que: Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R. En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo. Relación no reflexiva RelaRef 00.svg Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo. Puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no, la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva. Ver diagrama: \mbox{Relaciones homogéneas} \begin{cases} { \color{Blue}\mbox{reflexivas}} \\ \mbox{no reflexivas} \begin{cases} { \color{Red}\mbox{irreflexivas}}\\ { \color{Green}\mbox{no reflexivas y no irreflexivas}} \end{cases}\\ \end{cases} Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas. Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria es relación irreflexiva, si cumple: 1.- Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si todo elemento a de A no esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \notin R También podemos decir que una relación es irreflexiva si: \nexists a \in A \, : \quad (a,a) \in R Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a esta relacionado consigo mismo. RelaRef 05.svg Dado el conjunto: A = \{ a, b, c, d \} \, y la relación entre los elementos de este conjunto: \R = \Big \{ (a,b), (b,c), (d,b) \Big \} Podemos ver que: (a,a) \notin \R \quad (b,b) \notin \R \quad (c,c) \notin \R \quad (d,d) \notin \R Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R, luego esta relación en irreflexiva. RelaRef 25.svg La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación. La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una relación es reflexiva, tenemos que: \forall a \in A : \; (a,a) \in R y si es irreflexiva, se cumple: \forall a \in A : \; (a,a) \notin R Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultáneamente: Una relación binaria es no reflexiva si: \exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R Y una relación es no irreflexiva cuando: \exist a \in A \, : \quad (a,a) \in R Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no reflexiva y no irreflexiva: \begin{cases} \exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R \\ \exist b \in A \, : \quad (b,b) \in R \end{cases} veamos un ejemplo, dado el conjunto: A = \{ a, b, c, d \} \, RelaRef 03.svg En la que se ha definido la relación binaria: \R = \Big \{ (a,a), (a,b), (b,c), (c,c), (d,b) \Big \} Podemos ver que: (a,a) \in \R \quad (c,c) \in \R Y también que: (b,b) \notin \R \quad (d,d) \notin \R Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva. RelaRef 23.svg Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma relación. En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones: Relaciones reflexivas Relaciones irreflexivas Relaciones no reflexivas y no irreflexivas. Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente. Relación de dependencia Artículo principal: Relación de dependencia. Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica: Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria es relación de dependencia, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva, si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R 2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica, si un elemento a esta relacionado con otro b, entonces el b también esta relacionado con el a. \forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \longrightarrow \quad (b,a) \in R Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la distancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia: \forall a, b \in \N : \; D= | a-b| y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo un valor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es: (a, b) \in R : \; (a, b) \in \N^2 \quad \land \quad |a-b| \le D es una relación de dependencia, dado que es reflexiva: \forall a \in \N : \; |a-a| \le D es simétrica: \forall a, b \in \N : \; |a-b| \le D \quad \longrightarrow \quad |b-a| \le D relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que: \forall a, b, c \in \N : \; \Big ( |a-b| \le D \quad \land \quad |b-c| \le D \Big ) \quad \nrightarrow \quad |a-c| \le D que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, no implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación de dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si denota una dependencia entre ellos. Conjunto preordenado Artículo principal: Conjunto preordenado. Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva: Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \} Se dice que esta relación binaria define un conjunto preordenado, si cumple: 1.- Relación binaria reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo. \forall a \in A : \; (a,a) \in R 2.- Relación binaria transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c. \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R